Orateur : Amic Frouvelle
Établissement : CEREMADE – Paris Dauphine PSL (France)
Dates : 2025-12-11 – 2025-12-11
Heures : 14:00 – 14:00
Lieu : Salle 0N/23 [H01]
Résumé :
Titre de la conférence : Hypo(coerciv-elliptic)ité dans un modèle d’alignement de particules auto-propulséesOn considère un modèle jouet de particules autopropulsées (vitesses contraintes sur la sphère) avec interaction d’alignement (chaque individu tend à s’aligner avec ses proches voisins) et bruit angulaire (pour explorer les différentes directions).
À l’échelle mésoscopique (dans la limite d’un grand nombre de particules), il se présente sous la forme d’une équation cinétique couplant transport libre (à vitesse constante) et un opérateur local d’alignement-diffusion sur la sphère (la variable de vitesse). La version homogène est bien comprise avec un phénomène de transition de phase : en dessous d’un certain seuil de bruit (ou de densité), la distribution des vitesses converge vers l’équilibre isotrope, alors qu’au-delà de ce seuil, les équilibres stables forment une famille de profils plus concentrés en vitesse (distributions de von Mises).
Je commencerai par un survol des comportements macroscopiques que l’on s’attend à observer (ou que l’on ne comprend pas vraiment) dans le modèle inhomogène en espace. On peut par exemple dériver formellement des équations de type fluide pour les densités au-delà du seuil critique.
Je présenterai ensuite quelques résultats sur le comportement (en temps court et en temps long) de l’équation inhomogène inhomogène en espace en-dessous du seuil, à l’aide de techniques d’hypoellipticité et d’hypocoercivité, qui nécessitent des ajustements spécifiques du fait que la variable de vitesse est contrainte sur la sphère unité. On obtient la stabilité (non-linéaire) locale de l’équilibre isotrope, avec un taux de convergence exponentiel lorsque la variable d’espace est sur un tore plat. Ces résultats sont le fruit d’une collaboration de longue date avec Émeric Bouin (Ceremade, Université Paris Dauphine – PSL).